MM811 - 1° semestre 2014

Homologia - uma introdução

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Aula 3a 5a 10-12 sala 322 IMECC

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Prova:
    3a-feira  24 de juno (10-12h na sala da aula)
    assunto:  todas aulas e listas de exercícios

I  Álgebra homológica

    §1    Complexos de cadeias, homologia

    §2    Homotopia de cadeias

    §3    Sequências exatas (S.E.)

    §4    Cohomologia

II  Homologia simplicial

    §1    Poliedros

            pontos independentes, combinação afim e convexa, conjuntos convexos e pontos extremos,
            simplexo e faces, poliedro, subpoliedro, esqueleto, aplicação simplicial,
            esquema simplicial e realização geométrica, triangulação de um espaço topológico

    §2    Complexo simplicial

            coeficientes num anel de característica 2, simplexos orientados: qualquais coeficientes,
            operador bordo, complexo simplicial de um poliedro, simplexos degenerados,
            definição alternativa: fixando uma base (orientações), sinal característica,
            S.E. de M-V, aplicações simpliciais disponibilizam morfismos

    §3    Exemplos de homologia simplicial

            poliedro conexo, índice de Kronecker, reunião disjunta torna soma direta,
            homologia de cones e espaços trianguláveis, esfera S^n, anel circular, toro T^2,
            poliedros acíclicos

    §4    Subdivisão baricêntrica

            subdivisão, baricéntro e diámetro de um simplexo, subdivisão baricéntrica,
            complexo acíclico, transporte acíclico, morfismos transportados,
            aplicações simpliciais contíguas

    §5    Aproximação simplicial

    §6    Pseudo-variedades e orientação

            pseudo-variedade M de dimensão n, orientação coerente de n-simplexos, orientação de M,
            H_n(M;Z), rota, circuito desorientador, H_k(M;Z) onde k=n-1,
            triangulação octaédrica de S^n, homologia de RP^n,
            aplicação antipoda, orientabilidade de RP^n

    §7    Teoria de Lefschetz

            números de Betti, traços, característica de Euler, número de Lefschetz,
            Lema de Hopf, Teorema dos pontos fixos de Lefschetz,
           Teorema do ponto fixo de Brouwer, o teorema de "hairy ball"

    §8    Homologia simplicial relativa e excisão

III  Homologia

    §1    Axiomas de Eilenberg-Steenrod

            categoria, functor, teoria de homologia, os cinco axiomas de E-S:
               (HOMOTOPIA)
               (EXATADÃO) 
               (EXCISÃO)
               (DIMENSÃO)
               (SOMA)
            coeficientes da teoria: G=H_0(ponto)

    §2    Homologia (simplicial) ordenada

    §3    Homologia singular

            simplexo standard, simplexo singular, cadeias singulares, operador bordo,
            morfismo induzido por uma aplicação contínua, pares de espaços topológicos,
            os cinco axiomad de E-S, retração, retração de deformação, equivalência de homotopia,
            inversas por homotopia, S.E. de M-V, cobertura U, simplexos U-pequenos,
            homologia de S^n, prova alternativa do Teorema de Brouwer

    §3    Homologia celular

              A)  Espaços CW

                 k-célula, aplicação característica e de colagem, subcomplexo e par CW,
                 decomposição CW de S^n, RP^n, CP^n

              B)  Espaços celulares

              C)  Homologia CW de um espaço CW X e isomorfismo à homologia celular de X

                 complexo CW: CW_k gerado pelos k-celulas orientadas de X,
                 operador bordo: soma sobre os números de incidência [a:b]
                 (os graus das aplicações de colagem das k-células),
                 os graus [a:b] e homologia da garafa de Klein e de RP^2
           

IV  Cohomologia de deRham

    §1    Complexo de deRham

              A)  Variedades

                 subvariedades M de R^n, cartas e parametrizações locais,
                 espaço tangente, base de T_p M e a base dual (numa carta local),
                 aplicação linearizada

              B)  Formas diferenciais

                 algebra exterior num espaço vetorial, formas diferenciais, "pull-back"

              C)  Derivação exterior d

                 produto cunha, derivação (exterior) d de Cartan, naturalidade de d,
                 integração e Teorema de Stokes

    §2    Functor de deRham

              A)  Invariáncia homotópica

              B)  Lema de Poincaré

                 contrátil, formula "anti-derivada" para formas diferenciais sobre conjuntos tipo estrela

              C)  Cálculo vetorial clássico

                 grad, rot, div, elemento linha/área/volume, rot grad=0, div rot=0,
                 Teorema fundamental da análise, Teorema integral de Stokes e de Gauss,
                 existência de um potencial para um campo de vetores sobre um conjunto contrátil

    §3    S.E. de Mayer-Vietoris

            partição de 1 subordinada a uma cobertura aberta, partição de 1 de suporte compacto,
            S.E. de M-V, cohomologia de S^n, cobertura simples, variedade do tipo finito
            admite cohomologia finitamenta gerada

    §4    Cohomologia com suportes compactos

            formas diferenciais e cohomologia de suporte compacto H^*_c,
            não é invariante de tipo de homotopia, aplicações contínuas próprias
            disponibilizam morfismos, (HOMOTOPIA) valido para aplicações contínuas
            propriamente homotópicas, H^*_c R^n

    §5    Dualidade de Poincaré