MM811 - 1° semestre 2014
Homologia - uma introdução
Lingua: Português
Creditos: Vai haver uma prova escrita ao fim do curso.
Pré-requisitos: veja embaixo
Objetivos: Este curso vai ser bem básico e de um ponto de
vista bem geral: topologia (homologia singular) e geometria
diferenciável (cohomologia de deRham). o objetivo é receber profundo
entendimento nesta generalidade e gerar um bom fundamento para o
estudo
- da homologia de Morse na área de análise global na dimensão
finita e infinita
(cursos intencionados 2-2014 1-2015)
- da homologia nas situaçoes mais especial (para quem
aplicasse),
e.g. na geometria algébrica ('sheaf cohomology'
ou 'cohomology of groups')
Homologia - uma introdução
Nas decadas recentes as implicações de topologia estaram detectados
nas muitas áreas da matemática como análise (teoria de Morse) e
EDP's elíticas e parabolicas (e.g. homologia de Floer e homologia de
Morse para o fluxo de calor), mesmo na física teorética (e.g. efeito
de Hall quántica).
A ferramenta chave a quantificar estes implicações é a teoria de
homologia. A intenção de este curso é, primeiro, dar uma introdução
detalhada nesta teoria maravilhosa e fortissima. Segundo, o curso
está planejado como base para dois cursos subsequentes. A intenção
destes tres cursos será ligar a audiência ao nivel de
minha pesquisa átual (o sistema dinâmica hiperbólica gerado
pela EDP parabólica semi-linear chamado o fluxo de calor).
Nos achamos que o recém-descoberto "backward lambda-Lemma" será a fonte
de projetos interessantes de nivel mestrado ou doutorado.
Intentamos continuar o curso na maneira seguinte:
2014-2 Teoria de Morse e Conley
2015-1 Homologia de Morse para o fluxo de calor
Introduction to homology theory
In recent decades the implications of topology were detected in many
areas of mathematics -- such as analysis (Morse theory) and elliptic
and parabolic PDE's (e.g. Floer
homology and Morse homology
for the heat flow) -- and theoretical physics (e.g. quantum Hall
effect), just to name a few.
A key tool to quantify these implications is homology theory. The
aim of this course is, firstly, to give a sound introduction to this
beautiful and powerful theory. Secondly, this course is designed to
be the base for two subsequent lecture courses. Their purpose will
be to lead the audience to the level of my current research (the
infinite dimensional hyperbolic dynamics generated by a semi-linear
parabolic PDE called the heat flow).
We believe that the recently discovered backward lambda-Lemma will
be the source of interesting masters and PhD projects. We intend to
continue this course as follows
2014-1 Morse and Conley theory
2015-1 Morse homology for the heat flow
Ementa
I. Homologia
Grupos de homologia, propriedades functoriais, axiomas, complexos CW
e homologia celular, característica de Euler e Teorema de
Euler-Poincaré,
homologia singular, sequência de Mayer-Vietoris, Teorema pontos
fixos de
Lefschetz-Hopf
II. Cohomologia
Variedades diferenciáveis e formas diferenciais, integração e
Teorema de
Stokes, Teorema das coeficientes universais, excisão, Lema de
Poincaré e
Teorema de deRham
III. Produtos e dualidade
Formulas de Kuenneth, produtos cup e cap, dualidade de Poincaré (se
o
tempo permite: teoria de intersecção e isomorfismo de Thom,
sequência
exacta de Gysin)
Bibliografia
Geral
- Dold Lectures on algebraic topology
(muito recomendado)
- Vick Homology theory
(muito recomendado)
- Bredon Topology and Geometry
- Hatcher Algebraic
Topology
- Spanier Algebraic Topology
- Lima Homologia básica
II.
Pré-requisitos
mínima
- Álgebra Linear
- Calculo II (multivariável)
recomendável
- conhecimento básico da topologia de conjuntos de pontos (para
I.)
- ter uma idea que é uma variedade (para II.)
- Guillemin, Pollack, Differential topology
(muito recomendado)
- Jänich Vector
analysis
(muito recomendado)
- Lima Variedades diferenciáveis baixar
de IMPA
Recomendo olhar a leitura referente iii. e iv. durante os
meses sem aulas dezembro-fevereiro. Mesmo recomendo
refrescar seu conhecimento da álgebra linear, em particular das
formas multilineares alternadas
- álgebra multilinear (para II.)
Claro, a lista acima só é uma escolha para você, não tem que ler
tudo. Pegue os livros cujos estilos agradam mais.
Dica:
Acedendo aos Springer-links da uma computadora de IMECC você
provavelmente pudesse baixar os textos diretamente, grato do
acordo Springer-CAPES.
Joa Weber
IMECC UNICAMP
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