MA/MM419 - 2° Semestre 2017

Análise Real I

Regras, datas, ementa, bibliografia <--- datas das provas, ... bônus B
Exercícios

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EF e 2aC: 5a-f, dia 14 de dezembro, 8-10hs, na minha sala 318 IMECC
(A segunda chamada e o Exame Final versarão juntas e sobre o conteúdo integral do programa da disciplina incluindo todos os Exercícios.)

Devolução P2: 3a-f dia 21 de novembro na aula
2a prova: na aula do dia 14 de novembro (3a-f)

Previsão – MM692 "Análise Real II" em 2018-2

Previsão – MM805 "Polyfold theory" em 2018-1

Devolução P1: 3a-f dia 2 de outubro 12-14hs PB-05
1a prova: na aula da 3a-f dia 26 de setembro

A primeira aula será na 3a-feira dia 15 de agosto
(porque vou dar um curso avançado no CBM-31 e assistir uma conferência no IMPA).

Não haverá provas substitutivas. O aluno que não comparecer a uma das provas deverá retirar na Secretaria de Graduação do IMECC, o formulário de pedido de segunda chamada, que deverá ser preenchido e entregue ao professor, no prazo de 7 dias, a partir da data da prova, acompanhado de comprovante que justifique a falta. A segunda chamada e o Exame Final versarão juntas e sobre o conteúdo integral do programa da disciplina.

I Teoria de medida abstrata

§1 σ-álgebras

σ-álgebra, σ-álgebras induzidas (push-forward, pull-back, restrição, relativo), partição, números reais extendidos

\bar{R}

σ-álgebra mínima contendo uma colecção de conjuntos, topologia, espaços métricos e normados, σ-álgebra Borel

§2 Funções mensuráveis

pre-imagens, funções mensuraveis, funções características, contínua => Borel mensurável, liminf, limsup,
funções simples, Teorema de aproximação

§3 Integração de funções positivas

            medida, exemplos (medida contável, medida Dirac), integral de funções simples,
            integral de funções f mensuráveis positivas como sup de integrais de funções simples s ≤ f,
            propriedades da integral Lebesgue, σ-additividade em respeito ao integrando e o domínio da integração (uniões disjuntas),
            Teorema da convergência monótona de Lebesgue, Lema de Fatou, medida μf associada a uma função mensurável positiva

§4 Integração de funções reais

integrabilidade, parte positivo e negativo de uma função, integral de funcões reais mensuráveis, propriedades,
espaço das funções reais integráveis, Teorema da convergência dominada de Lebesgue

§5 Conjuntos de medida nulo

conjuntos μ-nulos, propriedades no 'quase tudo ponto' (qtp), espaço Banach L1(μ), norma ‖⋅‖1,
séries convergentes de funções integráveis

§6 Completamento de um espaço medida

espaço medida completo, completamento de um espaço medida, Teorema: o completamento é completo,
integrabilidade generalizada

§7 Tipos de convergência

convergência: - uniforme - pontualmente - no qtp - em Lp - em medida - quase uniforme,
exemplos, Teorema de Egoroff, os três princípios de Littlewood

II Medida de Lebesgue em Rⁿ

§1 Medidas exteriores (teoria abstrata em $(X,2 X$ ))

medida exterior

ν

: $2 X$ -> [0,∞] , σ-álgebra dos conjuntos

ν

-mensuráveis, Teorema e Critério de Carathéodory

§2 Medida exterior de Lebesgue em Rⁿ

cubos fechados, conjuntos nulo de Jordan e de Lebesgue, medida exterior

ν

de Lebesgue, conjuntos Lebesgue mensuráveis,
medida de Lebesgue m, o espaço medida de Lebesgue é o completamento do espaço medida Borel,
regularidade exterior e interior, continuidade de embaixo de

ν

§3 Formula de transformação

caso geral (sem prova), caso linear

§4 Lebesgue e Riemann

A) Integral de Riemann: conjuntos Jordan mensuráveis (são Lebesgue mensurável), medida Jordan
B) Teorema: integrábilidade Riemann => Lebesgue e as integrais são iguais

III Medidas Borel – Teorema de Riesz

espaço topológico, vizinhança, Hausdorff, localmente compacto, σ-compacto
Hipótese permanente em III: Seja (X,

A = U

U

) um espaço topológico, Hausdorff, localmente compacto, munido da σ-álgebra

B

de Borel

§1 Medidas Borel regulares

σ-álgebra

B

de Borel associado a um espaço topológico (X,

A = U

U

), medidas Borel e Radon, regularidade interior e exterior,
o espaço

C_{c} (X)

das funções contínuas em X com suporte compacto

C_{c} (X)

§2 Medida exteriores Borel

medida exterior Borel

ν

: $2 X$ -> [0,∞], a restrição de

ν

B

§3 Teorema de Riesz

funcionais lineares contínuas, Teorema de Riesz (só ideía da prova), medida Radon μ₀ lida a medida Borel

μ_{1}

,
2º contável => todo aberto é σ-compacto => 1º contável
Teorema: Todo aberto é σ-compacto => a) toda medida Borel é regular e b) todo funcional linear contínuo positivo em

C_{c} (X)

é representado pela integral sobre X em respeito a uma única medida Borel

IV Espaços L^p(μ)

§1 Desigualdades de Hölder e Minkowski

desigualdades de Young, Hölder, e Minkowski

§2 Espaço Banach L^p(μ)

Seja

1 \leq p \leq \infty,

p-integrabilidade, anorma ‖⋅‖p, equivalência modulo qtp,
os espaços Banach L^p(μ)e $ℓ p$ (μ) associados a um espaço medida, esssup,
|| f ||_$\infty$

realizável como sup |f|

fora de um conjunto nulo

§3 Separabilidade

            espaços topológicos: subconjuntos densos, separabilidade, 2º contável => separável,
            espaços métricos: 2º contável <=> separável,
            Hipótese A: Seja (X,

A = U

U

) um espaço topológico, Hausdorff, localmente compacto, munido de uma medida Borel μ
$Teorema: A =>$ L^p(μ) éseparável para todo

1 \leq p < \infty finito. Teorema: A +

μ regular exterior e em abertos também interior =>

C_{c} (X)

C_{c} (X)

L^p(μ), onde f~g :<=> f=g qtp

§4 Espaços Hilbert

produto interno, norma associada, desigualdades de Cauchy-Schwarz e do triângulo, exemplo L²(μ), espaço dual e norma induzida,
Teorema de Riesz para espaços Hilbert (com prova), Teorema da existência de um único minimizador,
isometria linear sobrejetiva L²(μ) -> L²(μ)*, [g] ↦ ⟨g,·⟩

§5 Espaço dual de L^p(μ)

Sejam 1/p+1/q=1 e seja (X,A,

μ) um espaço medida,

1

< p

< \infty:

isometria linear sobrejetiva T: L^q(μ) -> L^p(μ)*, [g] ↦ ∫g · dμ , (sem prova da sobrejetividade),

p

= \infty: O operador linear

T: L 1 (μ) -> L

\infty (μ)*

ainda é uma isometria (então injetivo), mas geralmente não é sobrejetivo,
exemplo

T

não sobrejetivo no caso

p

= \infty

: $ℓ 1$ em respeito da medida contável nos números naturais (este $ℓ 1$ também não é reflexivo),

p

= 1:

O operador linear

T: L

\infty (μ) -> L

1 (μ)*

é uma isometria <=> (X,A,

μ) é semi-finito e (sobrejetivo <=>

(X,A,

μ) localisável

)

V Teorema de Radon-Nikodym

§1 Medidas absolutamente contínuas

medidas absolutamente contínuas $\lambda$

≪

μ, medidas mutuamente singulares $\lambda$ ⊥

μ,
Teorema de Radon-Nikodym (caso ambas medidas são σ-finitas), Teorema da decomposição de Lebesgue

VI Medidas produto

§1 σ-álgebra produto

§2 Medida produto

§3 Teorema de Fubini

Joa Weber
sala 318
IMECC UNICAMP
e-mail: joa(at)ime.unicamp.br
fone: ++55 +19 352-16021
hora de atendemento: 5a-feira 10h15-11h

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