MM811 - 2° semestre 2014
Teoria de Morse e Conley
Lingua: Português (Inglês se a
audiência faz votos)
Creditos: As notas serão baseadas numa palestra (seminário)
do estudante no último parte do semestre
Pré-requisitos: veja embaixo
Objetivos: gerar um bom fundamento para o estudo
- da homologia de Morse na área de análise global na dimensão
infinita
(curso intencionado 2015-1)
Teoria de Morse e Conley (na
dimensão finita)
Nas decadas recentes as implicações de topologia estaram detectados
nas muitas áreas da matemática como análise (teoria de Morse) e
EDP's elíticas e parabolicas (e.g. homologia de Floer e homologia de
Morse para o fluxo de calor), mesmo na física teorética (e.g. efeito
de Hall quántica).
A ferramenta chave a quantificar estes implicações é a teoria de
homologia. O primeiro destino deste curso é construir os grupos de
homologia de Morse associado a um sistema dinâmico hiperbólico de
tipo gradiente numa variedade fechada. Como Corolario vamos obter as
famosas desigualdades de Morse. Nas primeiras semanas vamos dar uma
introdução aos sistemas dinâmicos hiperbólicos e vamos
disponibilizar as ferramentas fundamentais como o Teorema de
Grobman-Hartman e o λ-Lema de Palis.
No segundo parte estudamos a teoria de Conley de conjuntos isolados
invariantes. Esta teoria vive no contexto mais geral dos sistemas
dinâmicos contínuos. Do interesse especial será o artigo recente de
Rot e Vandervorst que descreve o índice de Conley de um conjunto
isolado invariante nos termos da homologia de Morse.
Este curso é intenta ser a base para um curso subsequente sobre a
construção de homologia de Morse associado a um sistema dinâmica
hiperbólica de dimensão infinita gerado por uma EDP parabólica
semi-linear e chamado o fluxo de calor. Os pontos fixos deste fluxo
correspondem às geodésicas de uma variedade Riemanniana. Nas outras
palavras, o curso subseguinte
2015-1 Homologia de Morse para o fluxo de calor
lidará a minha area de pesquisa presente. Acho que neste contexto o
recém descuberto backward
λ-Lemma poderia ser fonte
de projetos interessantes de mestrado ou doutorado.
Introduction to (finite dimensional) Morse and
Conley theory
In recent decades the implications of topology were detected in many
areas of mathematics -- such as analysis (Morse theory) and elliptic
and parabolic PDE's (e.g. Floer
homology and Morse homology for
the heat flow) -- and theoretical physics (e.g. quantum Hall
effect), just to name a few.
A key tool to quantify these implications is homology theory. The
first goal of this course is to construct Morse homology groups
associated to a hyperbolic gradient dynamical system on a closed
manifold. As a Corollary we obtain the famous Morse inequalities.
During the first weeks we will give an introduction to hyperbolic
dynamics and provide fundamental tools such as the Grobman-Hartman
Theorem and Palis'
λ-Lemma.
In the second part we study Conley's theory of isolated invariant
sets. This theory lives in the far more general context of
continuous dynamical systems - as opposed to hyperbolic ones. Of
particular interest will be the recent paper of Rot and Vandervorst
which describes the Conley index of isolated invariant sets in terms
of Morse homology.
Last, not least, this course is designed to be the base for a
subsequent lecture course on Morse homology associated to an
infinite dimensional hyperbolic dynamical system generated by a
semi-linear parabolic PDE called the heat flow. In other words, the
follow-up course
2015-1 Morse homology for the heat flow
leads to the area of my current research. I believe that the
recently discovered backward
λ-Lemma will be the
source of interesting masters and PhD projects.
Ementa
I. Sistemas dinâmicos hiperbólicos
campo de vetores, fluxo gradiente, ponto fixo hiperbólico, variedade
in/e/stavel, orientações, λ-Lema,
linearização do fluxo, Teorema de Grobman-Hartman, estabilidade
estrutural
II. Teoria de Morse
funções de Morse, pontos críticos, índice de Morse, grupos de
cadeias de Morse, o operador bordo, homologia de Morse, homotopias
de cadeias e homotopias delas, filtrações celulares, isomorfismo à
homologia singular usando homologia celular,
desigualdades de Morse
III. Teoria de Conley
conjuntos invariantes isolados, continuação, pares índice de Conley,
índice de Conley, 'attractors' e 'repellers', funções des Lyapunov,
decomposições de Morse, homologia de Morse-Conley-Floer
Bibliografia
Sistemas dinâmicos hiperbólicos
- J. Palis, and W. de Melo, Geometric theory of dynamical
systems, Springer 1982
- J. Palis, and W. de Melo, Introdução aos sistemas
dinâmicos, IMPA 1975 link
Teoria de Morse
- J. Milnor, Morse theory, PUP, Annals of Mathematics
Studies 51 (1963)
- J. Weber, The Morse-Witten complex via dynamical systems,
Expo. Math. 24 (2006), 127-159 link
arXiv
Teoria de Conley
- C. Conley, Isolated invariant sets and the Morse index,
CBMS 38, AMS, 1978 MathSciNet
- D.A. Salamon, Connected simple systems and the Conley
index of isolated invariant sets, TAMS 291 (1985),
1-41 link
- T. O. Rot and R.C.A.M. Vandervorst, Morse-Conley-Floer
Homology, Preprint 2013 arXiv
Pré-requisitos
mínima
- Álgebra linear
- (Introdução à) Análise do R^n
recomendável: ter idea de
- Variedades
- Homologia
Joa Weber
IMECC UNICAMP
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